设3阶实对称矩阵A的特征值λ=11,λ2=2,λ3=一2,且α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5一4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. (1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B.

admin2020-09-25  52

问题 设3阶实对称矩阵A的特征值λ=11,λ2=2,λ3=一2,且α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5一4A3+E,其中E为3阶单位矩阵.
  (1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量.
  (2)求矩阵B.

选项

答案(1)由Aα11α1,知Bα1=(A5一4A3+E)α1=(λ15一4λ13+1)α1=一2α1, 故α1是B的属于特征值一2的一个特征向量. 因为A的全部特征值为λ1,λ2,λ3,所以B的全部特征值为λi5一4λi3+1(i=1,2,3),即B的全部特征值为一2,1,1. 由Bα1=一2α1,知B的属于特征值一2的全部特征向量为k1α1,其中k1是不为零的任意常数. 因为A是实对称矩阵,所以B也是实对称矩阵.设(x1,x2,x3)T为B的属于特征值1的任一特征向量.因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交,所以(x1,x2,x31=0,即x1一x2+x3=0. 解得该方程组的基础解系为α2=(1,1,0)T,α3=(一1,0,1)T,故B的属于特征值1的全部特征向量为k2α2+k3α3,其中k2,k3为不全为零的任意常数. (2)令P=(α1,α2,α3)=[*],那么P-1=[*] 因为P-1BP=[*]

解析
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