设函数f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，试证存在ξ，η，ζ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝eζ－ηf′(η)．

admin2018-06-12 20

问题设函数f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，试证存在ξ，η，ζ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝e^ζ－ηf′(η)．

选项

答案把要证的等式改写成 [*]＝f′(ξ) 现考察等式[*]，令g(χ)＝e^χ，则由题设可知g(χ)与f(χ)在[a，b]上满足柯西中值定理条件，由此可知，必定存在η∈(a，b)，使得 [*] 又f(χ)，e^χ都在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，由此可知必存在ξ∈(a，b)，ζ∈(a，b)，使得 [*] 代入上述等式得[*]e^ζ＝f′(ξ) 故有f′(ξ)＝e^ζ－ηf′(η)．

解析

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