(13)A，B均为3阶矩阵，且A与B相似，λ1＝1，λ2＝3为矩阵A的两个特征值，已知｜B｜＝6,则＝____________。

admin2022-01-05 38

问题 (13)A，B均为3阶矩阵，且A与B相似，λ₁＝1，λ₂＝3为矩阵A的两个特征值，已知｜B｜＝6,则

＝____________。

选项

答案[*]

解析本题考查相似矩阵的性质和伴随矩阵的行列式。如果两个矩阵相似，则它们有相同的特征多项式、相同的特征值、相同的秩、相同的行列式、相同的迹。矩阵A的伴随矩阵的行列式等于｜A｜²。
设λ₃为A的另一个特征值，则由A与B相似可得｜A｜＝｜B｜＝6，且λ₁λ₂λ₃＝
｜A｜＝6，因此可得λ₃＝2，即A与J6『的特征值均为1，2，3，故有
｜A＋E｜＝(λ₁＋1)(λ₂＋1)(λ₃＋1)＝2×3×4＝24，
｜B^*｜＝｜B｜²＝36，