2. 考研
  3. 设z＝f，其中f二阶连续可导，又f(0)＝1，f’(0)＝，且满足 (Ⅰ)求f(x)； (Ⅱ)求曲线L：y＝f(x)(x≥0)绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积．

设z＝f，其中f二阶连续可导，又f(0)＝1，f’(0)＝，且满足 (Ⅰ)求f(x)； (Ⅱ)求曲线L：y＝f(x)(x≥0)绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积．

admin2021-03-18  21
问题 设z＝f，其中f二阶连续可导，又f(0)＝1，f’(0)＝，且满足
(Ⅰ)求f(x)；
(Ⅱ)求曲线L：y＝f(x)(x≥0)绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积．
选项
答案(Ⅰ)令r＝[*]，则[*] 同理[*] 代入得f"(r)－f(r)＝re－x，即f(x)满足的微分方程为f"(x)－f(x)＝xe－x， 特征方程为λ2－1＝0，特征值为λ1＝－1，λ2＝1， 故f"(x)－f(x)＝0的通解为f(x)＝C1e－x＋C2ex， 令f"(x)－f(x)＝xe－x的特解为f0(x)＝(ax2＋bx)e－x，代入得[*] 故f"(x)－f(x)＝xe－x的通解为 f(x)＝C1e－x＋C2ex－[*] 再由f(0)＝1，f’(0)＝[*]得C1＝1，C2＝0， 故f(x)＝e－x－[*] (Ⅱ)V＝π∫0＋∞f2(x)dx＝∫0＋∞ [*] 而∫0＋∞e－2xdx＝[*]∫0＋∞e－2xd(2x)＝[*]， [*]
解析
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考研数学二

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