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设n维列向量组α1,α2,…,αm(m<n)线性无关,则n维列向量组β1,β2,…,βm线性无关的充分必要条件为( ).
设n维列向量组α1,α2,…,αm(m<n)线性无关,则n维列向量组β1,β2,…,βm线性无关的充分必要条件为( ).
admin
2020-09-25
36
问题
设n维列向量组α
1
,α
2
,…,α
m
(m<n)线性无关,则n维列向量组β
1
,β
2
,…,β
m
线性无关的充分必要条件为( ).
选项
A、向量组α
1
,α
2
,…,α
m
可由向量组β
1
,β
2
,…,β
m
线性表示.
B、向量β
1
,β
2
,…,β
m
可由向量组α
1
,α
2
,…,α
m
线性表示.
C、向量组α
1
,α
2
,…,α
m
与向量组β
1
,β
2
,…,β
m
等价.
D、矩阵A=(α
1
,α
2
,…,α
m
)与矩阵B=(β
1
,β
2
,…,β
m
)等价.
答案
D
解析
A:若向量组α
1
,α
2
,…,α
m
可由向量组β
1
,β
2
,…,β
m
线性表示,则m=R(α
1
,α
2
,…,α
m
)≤R(β
1
,β
2
,…,β
m
)≤m,从而可得R(β
1
,β
2
,…,β
m
)=m,即β
1
,β
2
,…,β
m
线性无关,但反之不一定成立,因为两个向量组秩相等不一定等价.
B:β
1
,β
2
,…,β
m
线性无关并不能推出β
1
,β
2
,…,β
m
可由α
1
,α
2
,…,α
m
线性表示这一结果.
C:两向量组向量个数相同且都线性无关并不能推出两向量组等价.
D:若向量组β
1
,β
2
,…,β
m
线性无关,则R(B)=m,从而可得R(A)=R(B),而A,B为同型矩阵,所以A与B等价.反之,若A与B等价,则R(A)=R(B),又由于α
1
,α
2
,…,α
m
线性无关,从而可得R(A)=m,所以R(B)=m,所以β
1
,β
2
,…,β
m
线性无关.
故选D.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/gBaRFFFM
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考研数学三
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