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  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)1x2的秩为2． (I)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形； (III)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．

已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)1x2的秩为2． (I)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形； (III)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．

admin2016-04-11  33
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)1x2的秩为2．
(I)求a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；
(III)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
选项
答案(1)f的秩为2，即f的矩阵 [*] 可知A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=0． A的属于λ1=2的线性无关的特征向量为 η1=(1，l，0)T，η2=(0，0，1)T A的属于λ3=0的线性无关的特征量为 η3=(-1，1，0)T 易见η1，η2，η3，两两正交．将η1，η2，η3单位化得 [*] 取Q=(e1，e2，e3)，则Q为正交矩阵．作正交变换x=Qy，得f的标准形为 f(η1，η2，η3)=λ1y12+λ2y22+λ3y32=2y12+2y12． (3)在正交变换x=Qy下，f(η1，η2，η3)=0化成2y12+2y12=0，解之得y1一y2=0，从而得所求方程的解为x=Q[*]=y3e3=k(-1，1，0)2，其中k为任意常数。
解析
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考研数学一

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