与二次型f=x12+x22+2x32+6x1x2对应的矩阵A既合同又相似的矩阵是( )

admin2018-11-22 49

问题与二次型f=x₁²+x₂²+2x₃²+6x₁x₂对应的矩阵A既合同又相似的矩阵是( )

选项 A、
B、
C、
D、

答案B

解析二次型X^TAX经正交变换X=QY化为二次型Y^TBY，即
X^TAX=(QY)^TA(QY)=Y^T(Q^TAQ)Y，
则有Q^TAQ=B，又因Q是正交矩阵，则Q^T=Q^-1，故Q^TAQ=Q^-1AQ=B，即在正交变换下，二次型矩阵A与B既合同又相似．
选项B为对角矩阵，且
｜λE-A｜=

=(λ-2)(λ-4)(λ+2)．
矩阵A的特征值是2，4，-2，所以应选B．

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