设对称矩阵A=,求正交矩阵P使PTAP为对角矩阵.

admin2019-05-09  18

问题 设对称矩阵A=,求正交矩阵P使PTAP为对角矩阵.

选项

答案因为矩阵A是对称矩阵,所以其特征值都是实数,且对应的特征向量都线性无关,先求出特征值,然后求出相应的特征向量,最后把特征向量正交单位化就可以求出正交矩阵. (1)首先求特征值. |λI一A|=[*]=λ2(λ一4), 特征值为λ1=0(三重),λ2=4. (2)其次求特征向量. 当λ1=0时,求(λ1I—A)x=0的基础解系 [*] 解之得基础解系为 α1=(一1,1,0,0)T,α2=(一1,0,1,0)T, α3=(一1,0,0,1)T, 将α1,α2,α3正交化,得 β1一α1=(一1,1,0,0)T, [*] 再将β1,β2,β3单位化,得 [*] 当λ2=4时.求(λ2I一A)x=0的基础解系 [*] 得基础解系为 α4=(1,1,1,1)T, 将α4=(1,1,1,1)T单位化,得 η4=[*](1,1,1,1)T. (3)令P=(η1,η2,η3,η4),则有 PTAP=[*]

解析
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