2. 考研
  3. 设向量组(I)：α1=(2，4，一2)T，α2=(一1，a一3，1)T，α3=(2，8，b一1)T；(Ⅱ)：β1=(2，b+5，一2)T，β2=(3，7，a一4)TT，β3=(1，2b+4，一1)T．问．(1)a，b取何值时，r(I)=r(Ⅱ)，且(I)与

设向量组(I)：α1=(2，4，一2)T，α2=(一1，a一3，1)T，α3=(2，8，b一1)T；(Ⅱ)：β1=(2，b+5，一2)T，β2=(3，7，a一4)TT，β3=(1，2b+4，一1)T．问．(1)a，b取何值时，r(I)=r(Ⅱ)，且(I)与

admin2016-01-11  41
问题 设向量组(I)：α1=(2，4，一2)T，α2=(一1，a一3，1)T，α3=(2，8，b一1)T；(Ⅱ)：β1=(2，b+5，一2)T，β2=(3，7，a一4)TT，β3=(1，2b+4，一1)T．问．(1)a，b取何值时，r(I)=r(Ⅱ)，且(I)与(Ⅱ)等价?(2)a，b取何值时，r(I)=r(Ⅱ)，但(I)与(Ⅱ)不等价?
选项
答案以α1,α2,α3，β1，β2，β3为列作矩阵，并对该矩阵作初等行变换化成行阶梯形矩阵：[*] 由以上行阶梯形矩阵，得(1)当a≠1，b≠一1时，｜α1,α2,α3｜≠0，｜β1，β2，β3｜≠0，故此时r(I)=r(Ⅱ)=r(I，Ⅱ)=3，所以(I)与(Ⅱ)等价．当a=1，b=一1时，r(I)=r(Ⅱ)=r(I，Ⅱ)=2，故(I)与(Ⅱ)也等价． (2)当a=1，b≠一1时，r(I)=r(Ⅱ)=2，但r(I)≠r(I，Ⅱ)=3，故(I)与(Ⅱ)不等价．当a≠1，b=一1时，仍有r(I)=r(Ⅱ)=2，但r(I)≠r(I，Ⅱ)=3，故(I)与(Ⅱ)也不等价．综上可知，当a≠1，且b≠一1，或a=1，且b=一1时，r(I)=r(Ⅱ)，从而(I)与(Ⅱ)等价；当a=1，且b≠一1或a≠1，且b=一1时，r(I)=r(Ⅱ)，但(I)与(Ⅱ)不等价．
解析 本题考查在秩相等的条件下判断两向量组是否等价，需要从等价定义出发，即从(I)可由(Ⅱ)线性表示，且(Ⅱ)又可由(I)线性表示来考虑，也就是r(I)=r(Ⅱ)=r(I，Ⅱ)．
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考研数学二

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