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假设D是矩阵A的r阶子式,且D≠0,但含D的一切r+1阶子式都等于0.那么矩阵A的一切r+1阶子式都等于0.
假设D是矩阵A的r阶子式,且D≠0,但含D的一切r+1阶子式都等于0.那么矩阵A的一切r+1阶子式都等于0.
admin
2021-01-25
46
问题
假设D是矩阵A的r阶子式,且D≠0,但含D的一切r+1阶子式都等于0.那么矩阵A的一切r+1阶子式都等于0.
选项
答案
在题设条件下可以证明A的秩为r,故A中一切r+1阶子式都为0. 证明A的秩为r的方法不是唯一的,下面利用“初等变换不改变矩阵的秩”来证明A的秩为r.设A=(a
ij
)
m×n
满足题设条件,不失一般性,设r<m≤n,并设A的非零的r阶子式D位于A的左上角,即 [*] 由题设,A的左上角的r+1阶子式(它含D) [*] 故D
r+1
的行向量组线性相关,而D
r+1
的前r行线性无关,所以D
r+1
的第r+1行可由前r行线性表示.因此,通过把A的前r行的适当倍数加到A的第r+1行,就可把A化成 [*] 由行列式的性质知上面化成矩阵的前r+1行中的一切r+1阶子式都是A的相应子式.因此前r+1行中含D的子式都为0,于是有a’
r+1,r+1
=…=a’
r+1,n
=0,即经上述初等变换已将A的第r+1行化成了零行.同理可通过初等行变换将A的第r+2,…,第m行都化成零行,即经若干次初等行变换可将A化成 [*] 由于D≠0,故B中非零子式的最高阶数为r,即B的秩为r,故A的秩为r.
解析
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考研数学三
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