设f(x)在[0，1]可导，0＜f’(x)＜1，0＜f(x)＜1，且F(x)=1/2[x+f(x)]。证明：方程F(x)=x在(0，1)内有唯一实根ξ

admin2021-12-14 38

问题设f(x)在[0，1]可导，0＜f’(x)＜1，0＜f(x)＜1，且F(x)=1/2[x+f(x)]。
证明：方程F(x)=x在(0，1)内有唯一实根ξ

选项

答案令G(x)=F(x)-x=1/2[f(x)-x]，则G(0)＞0，G(1)＜0，故由零点定理，可知存在一点ξ∈(0，1)，使得G(ξ)=F(ξ)-ξ=0，即F(ξ)=ξ，又由G’(x)=1/2[f’(x)-1]＜0，知G(x)在[0，1]上严格单凋减少，故方程F(x)=x在(0，1)内有唯一实根ξ。

解析

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考研数学二

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