已知A是三阶矩阵,a1,a2,a3是线性无关的三维列向量,满足 (Ⅰ)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求矩阵A的特征向量; (Ⅲ)求矩阵A*一6E的秩.

admin2019-07-28  46

问题 已知A是三阶矩阵,a1,a2,a3是线性无关的三维列向量,满足
   
    (Ⅰ)求矩阵A的特征值;
    (Ⅱ)求矩阵A的特征向量;
    (Ⅲ)求矩阵A*一6E的秩.

选项

答案求特征值既可用特征多项式求之,也可根据相似矩阵有相同的特征值求之.特征向量既可用解齐次方程组(λiE一A)X=0求之,也可用P-1AP=A求之,其中P的各个列向量就是A的特征值所对应的特征向量. 解 (Ⅰ)据已知条件,有 A[α1,α2,α3]=[—α1—3α2—3α3,4α1+4α23,一2α1+3α3] [*] 那么由α1,α2,α3线性无关知,矩阵P1=[α1,α2,α3]可逆,且P1-1AP1=B,即A与B相似.由矩阵B的特征多项式 [*] 得矩阵B的特征值为1,2,3,从而矩阵A的特征值也是1,2,3. (Ⅱ)由(E—B)x=0得基础解系 β1=[1,1,1]T, 即为矩阵B属于特征值λ=1的特征向量;由(2E—B)x=0得基础解系 β2=[2,3,3]T, 即为矩阵B属于特征值λ=2的特征向量;由(3E—B)x=0得基础解系 β3=[1,3,4]T, 即为矩阵B属于特征值λ=3的特征向量. 那么令P2=[β1,β2,β3],则有P2-1BP2=[*].于是令 [*] =[α123,2α1+3α2+3α3,α1+3α2+4α3], 则有P-1AP=(P1P2)-1A(P1P2)=P2-1(P1-1AP1)P2 [*] 故矩阵A属于特征值1,2,3的线性无关的特征向量依次为 k1123), k2(2α1+3α2+3α3), k31+3α2+4α3), 其中k1,k2,k3≠0. (Ⅲ)由[*]及∣A∣=6知, [*] 从而 [*] 所以秩(A*一6E)=2.

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/fIERFFFM
0

最新回复(0)