设A是四阶方阵，A*是A的伴随矩阵，其特征值为1，一1，2，4，则下列矩阵中为可逆矩阵的是( )．

admin2020-05-16 13

问题设A是四阶方阵，A^*是A的伴随矩阵，其特征值为1，一1，2，4，则下列矩阵中为可逆矩阵的是( )．

选项 A、A—E
B、2A—E
C、A＋2E
D、A一4E

答案A

解析利用矩阵行列式与其矩阵特征值的关系：｜A｜＝λ₁λ₂…λ_n判别之，其中λ_i为A的特征值．
解一设A^*的特征值为

，则

于是｜A^*｜＝1.(－1).2.4＝－8，
因而｜A｜^4－1＝｜A^*｜，故｜A｜³＝－8，即｜A｜＝－2，所以A的特征值为

因而A－E的特征值为
μ₁＝－2－1＝－3，μ₂＝2－1＝1，
μ₃＝－1－1＝－2，μ₄＝－1／2－1＝－3／2，
故｜A－E｜＝μ₁.μ₂.μ₃.μ₄＝－9≠0，所以A－E可逆．
解二由A的特征值易求得其他矩阵2A＋E，A＋2E，A－2E的特征值分别都含有零特征值，因而其行列式等于0，它们均不可逆．仅(A)入选．

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考研数学三

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