设A是三阶矩阵, α1=[1,2,-2]T, α2=[2,1,-1]T, α3=[1,1,t]T 是线性非齐次方程组AX=b的解向量,其中b=[1,3,-2]T,则( )。

admin2015-11-16  28

问题 设A是三阶矩阵,
    α1=[1,2,-2]T, α2=[2,1,-1]T,  α3=[1,1,t]T
是线性非齐次方程组AX=b的解向量,其中b=[1,3,-2]T,则(    )。

选项 A、t=-1,必有r(A)=1
B、t=-1,必有r(A)=2
C、t≠-1,必有r(A)=1
D、t≠-1,必有r(A)=2

答案C

解析 [解题思路]  令B=[α1,α2,α3],则
    AB=[b,b,b],r(AB)=r([b,b,b])=1。
    注意到t≠-1时,r(B)=3,从而r(AB)=r(A)=1,也可由方程组AX=b解的结构原理直接推出r(A)=1。
   解一  将已知关系式Aαi=b(i=1,2,3)合并成一个矩阵等式:
A[α1,α2,α3]=[Aα1,Aα2,Aα3]=[b,b,b]=
令    B=[α1,α2,α3]=
则    AB=[b,b,b]。
    当t=-1时,因B中第2,3行成比例,故r(B)=2,这时由r(AB)=1只能得到r(A)≥r(AB)=1,(A)、(B)都不对,
    当t≠-1时,因r(B)=3,故r(AB)=r(A)=1,仅(C)入选。
解二  B=[α1,α2,α3]=
当t≠-1时,r(B)=3,从而α1,α2,α3线性无关。
α1-α2,α2-α3是齐次方程AX=0的两个线性无关的解,则n-r(A)≥2,即3-r(A) ≥2,故r(A)≤3-2=1,但A≠O(若A=O,则AX=b无解与题设矛盾),故必有r(A)≥1,所以r(A)=1,仅(C)成立。
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