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设α1，α2，…，αs是n维向量组，r(α1，α2，…，αs)=r，则( )不正确．
设α1，α2，…，αs是n维向量组，r(α1，α2，…，αs)=r，则( )不正确．
admin
2020-03-01
23
问题
设α
1
，α
2
，…，α
s
是n维向量组，r(α
1
，α
2
，…，α
s
)=r，则( )不正确．
选项
A、如果r=n，则任何n维向量都可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示．
B、如果任何n维向量都可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，则r=n．
C、如果r=s，则任何n维向量都可用α
1
，α
2
，…，α
s
唯一线性表示．
D、如果r＜n，则存在n维向量不能用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示．
答案
C
解析
利用“用秩判断线性表示”的有关性质．
当r=n时，任何n维向量添加进α
1
，α
2
，…，α
s
时，秩不可能增大，从而A正确．
如果B的条件成立，则任何n维向量组β
1
，β
2
，…，β
t
都可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，从而r(β
1
，β
2
，…，β
t
)≤r(α
1
，α
2
，…，α
s
)．如果取β
1
，β
2
，…，β
n
是一个n阶可逆矩阵的列向量组，则得
n=r(β
1
，β
2
，…，β
n
)≤r(α
1
，α
2
，…，α
s
)≤n，
从而r(α
1
，α
2
，…，α
s
)=n，B正确．
D是B的逆否命题，也正确．
由排除法，得选项应该为C．下面分析为什么C不正确．
r=s只能说明α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，如果r＜n，则用B的逆否命题知道存在n维向量不可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，因此C不正确．
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/eLtRFFFM
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考研数学二
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