二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)经过正交变换化为标准形f=y12+2y22+5y32，求参数a及所用的正交变换。

admin2018-01-26 41

问题二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁²+3x₂²+3x₃²+2ax₂x₃(a＞0)经过正交变换化为标准形f=y₁²+2y₂²+5y₃²，求参数a及所用的正交变换。

选项

答案二次型f的矩阵A=[*] 根据题意可知，矩阵A的三个特征值分别为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=5，于是由｜A｜=λ₁λ₂λ₃可得2(9-a²)=10，解得a=2或-2(舍)。当λ₁=1时，解齐次线性方程组(E-A)x=0，得基础解系为ξ₁=(0，1，-1)^T；当λ₂=2时，解齐次线性方程组(2E-A)x=0，得基础解系为ξ₂=(1，0，0)^T；当λ₃=5时，解齐次线性方程组(5E-A)x=0，得基础解系为ξ₃=(0，1，1)^T。因为ξ₁，ξ₂，ξ₃已经是正交向量组，故只需将ξ₁，ξ₂，ξ₃单位化，于是得 η₁=[*]，η₂=(1，0，0)^T，η₃=[*] 令 Q=(η₁，η₂，η₃)=[*] 则Q为正交矩阵，且在正交变换x=Qy下，有Q^TAQ=[*]

解析

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考研数学一

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二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)经过正交变换化为标准形f=y12+2y22+5y32，求参数a及所用的正交变换。

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设随机变量U在[一2，2]上服从均匀分布，记随机变量求：(1)Cov(X，Y)，并判定X与Y的独立性；(2)D[X(1+Y]．

设X和Y相互独立都服从0—1分布：P{X=1)=P{Y=1)=0．6．试证明：U=X+Y，V=X—Y不相关，但是不独立．

一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量50千克，标准差为5千克，若用最大载重为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0．977(φ(2)=0．977)．

设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为σ=100，今抽了一个容量为26的样本，计算平均值1580，问在显著性水平α=0．05下，能否认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600．

求微分方程y’cosy=(1+cosxsiny)siny的通解．

微分方程y’’+2y’+2y=e-xsinx的特解形式为()

设A=E+αβT，其中α=[a1,a2……an]T≠0，β=[b1,b2……bn]T=0，且αTβ=2．求可逆矩阵P，使得P-1AP=A．

设矩阵有三个线性无关特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆阵P使得P-1AP=A，A是对角阵．

已知线性方程组的通解为[2，1，0，1]T+k[1，一1，2，0]T．记a=[a1j，a2j，a3j，a4j]T，j=1，2，…，5．问：(1)α4能否由α1,α2,α3,α5线性表出，说明理由；(2)α4能否由α

若P(x，y)，Q(x，y)在单连通域G内有一阶连续偏导数，且对G内任意简单闭曲线L有，则③曲线积分与路径无关；④P(x，y)dx＋Q(x，y)dy是某个函数μ(x，y)的全微分。这四种说法中正确的是()。

简单地区别挥发油和脂肪油的性质是

8个月小儿。因患肺炎住院，4天后臀部皮肤潮红，伴有皮疹。患处皮肤可选用的药物是()

张某下落不明满2年，经张某的债权人申请，法院宣告张某失踪，并指定张某的妻子杨某为财产代管人，张某的债权人要求杨某清偿债务，杨某拒绝清偿，债权人提起诉讼。以下说法正确的是：

某公司本年的营业收入为2000万元，净利润为250万元，利润留存率为50％，预计年度的增长率为3％。该公司的B为1．5，国库券利率为4％，市场平均风险股票的报酬率为10％，则该公司的本期市销率为()。

根据《反垄断法》的规定，下列各项中，属于滥用行政权力排除、限制竞争行为的有()。

中国政府机构改革的重点是(　)。

西周时期，民事诉讼应缴纳的诉讼费称为()

将CSMA/CD的发送流程可以简单地概括为4点：先听后发，边听边发，______以及随机延迟后重发。

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