设3元的实二次型f=xTAx的秩为1，且A的各行元素之和为3．求一个正交变换x=Py将二次型f=xTAx化成标准；

admin2021-11-09 36

问题设3元的实二次型f=x^TAx的秩为1，且A的各行元素之和为3．
求一个正交变换x=Py将二次型f=x^TAx化成标准；

选项

答案由A的各行元素之和为3知，λ₁=3是A的特征值，其对应的特征向量为α₁=k(1，1，1)^T，k≠0为任意常数．由二次型f=x^TAx的秩为1知r(A)=1，所以A有二重特征值λ₂=λ₃=0，设其对应的特征向量为x=(x₁，x₂，x₃)^T，则有(x，α₁)=0，即x₁+x₂+x₃=0，解得λ₂=λ₃=0对应的特征向量为 [*] 则P为正交矩阵，x=Py为正交变换，将二次型f=x^TAx化成标准形． f=3y²₁．

解析本题主要考查综合运用二次型理论化抽象二次型为标准形的题目，先根据二次f=x^TAx的秩为1和A的各行元素之和为3确定A的特征值，再根据实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，求A的特征向量，然后将二次型产f=x^TAx化成标准形．

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考研数学二

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设3元的实二次型f=xTAx的秩为1，且A的各行元素之和为3．求一个正交变换x=Py将二次型f=xTAx化成标准；

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设二次型的正、负惯性指数都是1．当x满足xTx=2时，求f的最大值与最小值．

设A=（aij)n×n是非零矩阵，且|A|中每个元素aij与其代数余子式Aij相等。证明：|A|≠0.

设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ1=2是A的特征值，对应特征向量为（-1,0,1）T.求A。

设二次型,经过正交变换X=QY化为标准形,求参数a,b及正交矩阵Q.

已知二次型f(x1，x2，x3)＝2x12＋3x22＋3x32＋2ax2x3(a﹥0)，若二次型f的标准形为f＝y12＋2y22＋5y32，求a的值及所使用的正交变换矩阵。

设二次型xTAx＝ax12＋2x22－x32＋8x1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，实对称矩阵A满足AB＝0，其中B＝。(Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换；(Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。

男性，40岁，1周前右大腿外伤，当日X线未见骨折，超声检查未见血肿，2天前右大腿疼痛加重，并发热，38.5℃，后体温逐渐升高至39℃，伴寒战，拟：右大腿深部脓肿。下列表现，哪项不符合

病人万某，因感染服磺胺药治疗，护士嘱其多饮水，其目的是

下列属于审计机关审计处罚措施的有()。

免责事由是指免除违约方承担违约责任的原因和理由，下面关于免责事由的说法正确的是(　　)。

摄影的拍摄风格，除了现实和非现实外，还包括()。

比率智商是指()。(2003年12月三级真题)

下列划线字意义不相同的一项是()。

市政道路及管线设计软件，属于计算机

Thedriver______(ignore)thepoliceman’swarningandgotintotrouble.

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设二次型xTAx＝ax12＋2x22－x32＋8x1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，实对称矩阵A满足AB＝0，其中B＝。(Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换；(Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。

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