2. 考研
  3. 计算I=∮L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz，其中L是平面x+y+z=2与柱面｜x｜+｜y｜=1的交线，从z轴正向看L，L是逆时针方向．

计算I=∮L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz，其中L是平面x+y+z=2与柱面｜x｜+｜y｜=1的交线，从z轴正向看L，L是逆时针方向．

admin2016-07-22  21
问题 计算I=∮L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz，其中L是平面x+y+z=2与柱面｜x｜+｜y｜=1的交线，从z轴正向看L，L是逆时针方向．
选项
答案方法一 封闭曲线积分容易想到斯托克斯公式法．用斯托克斯公式，取平面x+y+z=2被L所围成的有界部分为绷在L上的曲面S，按斯托克斯公式，S的法向量与z轴正向的交角应为锐角． I=∮L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz =∫∫S(-2y-4z)dydz+(-2z-6x)dzdx+(-2x-2y)dxdy． ① 方法1．1 改换成第一型曲面积分，S的单位法向量 [*] Dxy既对称于x轴，又对称于y轴，所以 [*] 分别令y≥0，y≤0，2-y-z≥0，2-y-z≤0，可得Dyz的4条边的方程，从而Dyz可改写为 [*] 将第2个积分的S投影到zOx平面上去， [*] 其中Dxy={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，所以I3=0．从而I=I1+I2+I3=-24． 方法二(用参数式计算) 由于L是由4个直线段构成的四边形，所以用参数式计算时，要一段段计算． L：｜x｜+｜y｜=1，z=2-x-y． 当x≥0，y≥0时，L1：y=1-x，z=2-x-y=1，x从1到0， [*] 方法三(降维法) 将L所在的方程z=2-x-y代入曲线积分以降低一维，降为 [*] 其中L1为L在zOy平面上的投影：｜x｜+｜y｜=1，Dxy={(x，y)｜｜x+｜y｜≤1}．最后得到-24．
解析
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考研数学一

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