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  3. [2003年] 已知平面区域D={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π}，L为D的正向边界，试证： esinydy—ye-sinxdx=xe-sinydy—yesinxdx； ①[img][/img]

[2003年] 已知平面区域D={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π}，L为D的正向边界，试证： esinydy—ye-sinxdx=xe-sinydy—yesinxdx； ①[img][/img]

admin2019-04-08  65
问题 [2003年]  已知平面区域D={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π}，L为D的正向边界，试证：
esinydy—ye-sinxdx=xe-sinydy—yesinxdx；    ①[img][/img]
选项
答案直接把第二曲线积分化为定积分(见图)计算． [*] 式①的左边曲线积分=∫L1xesinydy—ye-sinxdx+∫L2xesinydy—ye-sinxdx+∫L3xesinydy—ye-sinxdx+∫L4xesinydy—ye-sinxdx． 注意到L1：y=0，dy=0；L2：x=π，dx=0；L3：y=π，dy=0；L4：x=0，dx=0．于是 式①的左边曲线积分=∫0ππesinydy一∫π0πe-sinxdx=π∫0π(esinx+e-sinx)dx， 同法可得 式①的右边曲线积分=∫0ππe-sinydy一∫π0πesinxdx=π∫0π(e-sinx+esinx)dx， 式①得证．
解析
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