设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且对任意x∈(~∞,+∞),y∈(一∞,+∞),成立f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,且f’(0)存在等于a,a≠0,则f(x)= ____________.

admin2016-06-25  26

问题 设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且对任意x∈(~∞,+∞),y∈(一∞,+∞),成立f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,且f’(0)存在等于a,a≠0,则f(x)= ____________.

选项

答案axex

解析 由f’(0)存在,设法去证对一切x,f’(x)存在,并求出f(x).
    将y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,得
    f(x)=f(x)+f(0)ex
所以f(0)=0.

令△x→0,得
    f’(x)=f(x)+exf’(0)=f(x)+aex
所以f’(x)存在.解此一阶微分方程,得
    f(x)=ex(∫aex.e一xdx+C)=ex(ax+C).
因f(0)=0,所以C=0,从而得f(x)=axex
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