2. 考研
  3. 若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立： ① λ∈[0，1]，f(λx1+(1一λ)x2)≤λf(x1)+(1一λ)f(x2)，x1，x2∈[a，b]； ② ③ ④．f(x)为(a，b)上的连续函数．

若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立： ① λ∈[0，1]，f(λx1+(1一λ)x2)≤λf(x1)+(1一λ)f(x2)，x1，x2∈[a，b]； ② ③ ④．f(x)为(a，b)上的连续函数．

admin2015-07-04  31
问题
若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立：
①
λ∈[0，1]，f(λx1+(1一λ)x2)≤λf(x1)+(1一λ)f(x2)，x1，x2∈[a，b]；
②
③
④．f(x)为(a，b)上的连续函数．
选项
答案先证(i)．由(1)有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x—x0)，分别取x=x1，x=x2，x0=λx1+(1一λ)x2，得到 f(x1)≥f(x0)+(1一λ)f’(x0)(x1一x2)， ① f(x2)≥f(x0)+λf’(x0)(x2一x1)， ② λ×①+(1一λ)×②得λf(x1)+(1—λ)f(x2)≥f(x0)=f(λx<1/sub>+(1-λ)x2)，得证．(i)可写成[*]由归纳法即可得证(iii)，这里略去．(iii)中令[*]即得证(ii)．再证[*]，设G为｜f(x)｜的上界，取绝对值充分小的δ，m＜n，使得x1x2=…xm=x+nδ，xm+1=…=xn=x．由(ii)知[*]
解析
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考研数学一

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