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  3. 设二次型 f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22—2x32+2x1x3(b＞0) 中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为一12． (1)求a，b的值． (2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用

设二次型 f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22—2x32+2x1x3(b＞0) 中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为一12． (1)求a，b的值． (2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用

admin2017-07-26  67
问题 设二次型
    f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22—2x32+2x1x3(b＞0)
    中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为一12．
    (1)求a，b的值．
    (2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
选项
答案(1)二次型f的矩阵为 [*] 设A的特征值为λi(i=1，2，3)． 由题设， λ1+λ2+λ3=a+2+(一2)=1， λ1．λ2．λ3=[*]=—4a—2b2=—12． 得a=1，b=一2． (2)由矩阵A的特征多项式 ｜λE一A｜=[*]=(λ一2)2(λ+3)， 得A的特征值λ1=λ2—2，λ3=一3． 对于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E—A)x=0，得其基础解系 ξ1=(2，0，1)T，ξ2=(0，1，0)T． 对于λ3=一3，解齐次线性方程组(一3E—A)x=0，得其基础解系 ξ3=(1，0，一2)T． 由于ξ1，ξ2，ξ3已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将ξ1，ξ2，ξ3单位化，由此得 [*] 则Q为正交矩阵．在正交变换X=QY下，有 QTAQ=[*] 且二次型的标准形为 f=2y12+2y22—3y32 设A的特征值为λ1，λ2，λ3，则λ1=2，λ2+λ3=a一2，λ2λ3=一(2a+b2)．由题设得 λ1+λ2+λ3=2+(a一2)=1， λ1λ2λ3=一2(2a+b2)=一12． 得a=1，b=2．
解析
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考研数学三

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