设α1,α2，…，αs都是n维向量，A是m×n矩阵，下列选项中正确的是( )．

admin2019-03-11 31

问题设α₁,α₂，…，α_s都是n维向量，A是m×n矩阵，下列选项中正确的是( )．

选项 A、若α₁,α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁,Aα₂，…，Aα_s线性相关．
B、若α₁,α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁,Aα₂，…，Aα_s线性无关．
C、若α₁,α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁,Aα₂，…，Aα_s线性相关．
D、若α₁,α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁,Aα₂，…，Aα_s线性无关．

答案A

解析本题考的是线性相关性的判断问题，可以用定义说明(A)的正确性，做法如下：
因为α₁,α₂，…，α_s线性相关，所以存在不全为0的数c₁，c₂，…，c_s使得c₁α₁+c₁α₂+…+c_sα_s=0，用A左乘等式两边，得c₁Aα₁+c₁Aα₂+…+c_sAα_s=0，于是Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．但是用秩来解此题，则更加简单透彻．只要应用两个基本性质，它们是：
1．α₁,α₂，…，α_s线性无关

r(α₁,α₂，…，α_s)=s．
2．r(AB)≤r(B)．
矩阵(Aα₁，Aα₂，…，Aα_s)=A(α₁,α₂，…，α_s)，因此
r(Aα₁，Aα₂，…，Aα_s)≤r(α₁,α₂，…，α_s)．
于是，若α₁,α₂，…，α_s线性相关，有r(α₁,α₂，…，α_s)＜s，从而r(Aα₁，Aα₂，…，Aα_s)＜s，Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．

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考研数学三

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