2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，α1≠0，满足Aα1=2α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α2+2α3． A能否相似于对角矩阵，说明理由．

设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，α1≠0，满足Aα1=2α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α2+2α3． A能否相似于对角矩阵，说明理由．

admin2018-09-25  73
问题 设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，α1≠0，满足Aα1=2α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α2+2α3．
A能否相似于对角矩阵，说明理由．
选项
答案由第一小题知 (A－2E)[α1，α2，α3]=[α1，α2，α3] [*] 故 A[α1，α2，α3]=[α1，α2，α3] [*] [α1，α2，α3]B． 因α1，α2，α3线性无关，故C=[α1，α2，α3]是可逆矩阵，则C－1AC=B，即A～B． 又B有三重特征值λ1=λ2=λ3=2，但 [*] r(2E－B)=2， (2E－B)x=0只有一个线性无关解向量，故B不能相似于对角矩阵A． 由相似关系的传递性知，A不能相似于对角矩阵A．
解析
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考研数学一

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