设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1)α1能否由α2,α3线性表示?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论.

admin2020-09-25  35

问题 设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问:
  (1)α1能否由α2,α3线性表示?证明你的结论.
  (2)α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论.

选项

答案(1)α1能由α2,α3线性表示. 因为α1,α2,α3线性相关,所以有不全为零的数k1,k2,k3使k1α1+k2α2+k3α3=0. 下证k1≠0.若k1=0,则k2,k3不全为零,并且k2α2+k3α3=0,所以α2,α3线性相关,从而α2,α3,α4也线性相关,矛盾,所以k1≠0. 从而有[*]所以α1可由α2,α3线性表示. (2)α4不能由α1,α2,α3线性表示. 若α4可由α1,α2,α3线性表示,则有一组数k1,k2,k3使α4=k1α1+k2α2+k3α3.而由(1)知,α1可由α2,α3线性表示,从而有一组数l2,l3,使α1=l2α2+l3α3,从而有 α4=k1(l2α2+l3α3)+k2α2+k3α3=(k1l2+k22+(k1l3+k33, 所以(k1l2+k22+(k1l3+k33+(一1)α4=0. 而k1l2+k2,k1l3+k3,一1为不全为零的数,因此α2,α3,α4线性相关,矛盾,所以α4不能由α1,α2,α3线性表示.

解析
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