(1999年)试证:当x>0时,(x2一1)lnx≥(x—1)2.

admin2018-06-30  60

问题 (1999年)试证:当x>0时,(x2一1)lnx≥(x—1)2

选项

答案证l 令φ(x)=(x2一1)lnx一(x—1)2,易知φ(1)=0, [*] φ’(1)=0 [*] 则φ(x)在x=1取得极小值. 又x=1是φ(x)在(0,+∞)唯一的极值点,则φ(x)在x=1取得在区间(0,+∞)上的最小值. 又φ(1)=0,则当x>0时,φ(x)≥0,即 (x2一1)lnx≥(x—1)2 证2 令[*] 则 [*] φ(1)=0,所以当0<x<1时,φ(x)<0,当1<x<+∞时,φ(x)>0,于是x>0时,(x2—1)φ(x)=(x2一1)lnx一(x2一1)≥0,即 (x2一1)Inx≥(x一1)2 证3 由拉格朗日中值定理知[*]其中ξ介于1与x之间,即1<ξ<x或x<ξ<1,所以总有0<ξ<1+x从而[*]于是当x>0时 [*]

解析
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