已知α1,α2,α3,α4是3维非零向量,则下列命题中错误的是( )

admin2019-03-23  61

问题 已知α1,α2,α3,α4是3维非零向量,则下列命题中错误的是(    )

选项 A、如果α4不能由α1,α2,α3线性表出,则α1,α2,α3线性相关。
B、如果α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性相关,那么α1,α2,α4也线性相关。
C、如果α3不能由α1,α2线性表出,α4不能由α2,α3线性表出,则α1可以由α2,α3,α4线性表出。
D、如果秩R(α1,α12,α23)=R(α4,α14,α24,α34),则α4可以由α1,α2,α3线性表出。

答案B

解析 设α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,0)T,α3=(0,2,0)T,α4=(0,0,1)T,可知B项不正确,故选B。
关于选项A:用其逆否命题判断。若α1,α2,α3线性无关,则α1,α2,α3,α4必线性相关(因为n+1个n维向量必线性相关),所以α4可由α1,α2,α3线性表出。
关于选项C:由已知条件,有
(Ⅰ)R(α1,α2)≠R(α1,α2,α3),(Ⅱ)R(α2,α3)≠R(α2,α3,α4)。
若R(α2,α3)=1,则必有R(α1,α2)=R(α1,α2,α3),与条件(Ⅰ)矛盾,故必有R(α2,α3)=2。那么由(Ⅱ)知R(α2,α3,α4)=3,从而R(α1,α2,α3,α4)=3。因此α1可以由α2,α3,α4线性表出。
关于选项D:经初等变换有
1,α12,α23)→(α1,α2,α23)→(α1,α2,α3),
4,α14,α24,α34)→(α4,α1,α2,α3)→(α1,α2,α3,α4),
从而R(α1,α2,α3)=R(α1,α2,α3,α4),因此α4可以由α1,α2,α3线性表出。
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/cSLRFFFM
0

最新回复(0)