设n阶矩阵 (1)求A的特征值和特征向量;(2)求可逆矩阵P,使得P一1AP为对角矩阵.

admin2019-04-22  66

问题 设n阶矩阵
(1)求A的特征值和特征向量;(2)求可逆矩阵P,使得P一1AP为对角矩阵.

选项

答案当b=0或n=1时,A=E,于是A的特征值为λ1=…=λn=1,任意非零列向量均为特征向量;对任意n阶可逆矩阵P,均有P一1AP=E.下面考虑b≠0且n≥2的情形. 由[*] 得A的特征值为λ=1+(n—1)b,λ=…=λ=1一b. (1)对于λ1=1+(n一1)b,考虑齐次线性方程组(λ1E一A)x=0,对λ1E-A施以初等行变换,得[*] 解得基础解系为ξ1=(1,1,…,1)T,所以A的属于λ1的全部特征向量为k1ξ1=k(1,1,…,1)T (k1为任意非零常数). 对于λ2=…=λn=1一b,考虑齐次线性方程组(λ2E一A)x=0.对λ2E-A施以初等行变换,得[*]解得基础解系为ξ2=(1,一1,0,…,0)T,…,ξn=(1,0,0,…,一1)T,故A的属于λ2的全部特征向量为k2ξ2+k3ξ3+…+knξn(k2,k3,…,kn是不全为零的常数). (2)令P=(ξ1,ξ2,…,ξn),则 [*]

解析 本题主要考查含参数的矩阵的特征值、特征向量的计算问题.计算过程中涉及行列式的计算、齐次线性方程组的求解以及矩阵对角化问题,因而是一道综合性较强的试题.由矩阵A的特征多项式|λE一A|,求出特征值,然后通过解齐次线性方程组(λE一A)x=0,求特征向量,进而求出P.
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