设二次型f(x1，x2，x3)﹦xTAx﹦ax12﹢6x22﹢3x32－4x1x2－8x1x3－4x2x3，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值。 (I)求a的值； (Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换。

admin2019-01-22 34

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)﹦x^TAx﹦ax₁²﹢6x₂²﹢3x₃²－4x₁x₂－8x₁x₃－4x₂x₃，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值。
(I)求a的值；
(Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换。

选项

答案(I)题干所给二次型f对应的矩阵A﹦[*]，已知λ﹦－2是A的特征值，因此有 [*] 得到a﹦3。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式｜λE－A｜﹦[*]﹦(λ－7)²(λ﹢2)，矩阵A的特征值是λ₁﹦λ₂﹦7，λ₃﹦－2。对于λ﹦7，齐次方程组(7E－A)x﹦0的基础解系为[*] 对于λ﹦－2，齐次方程组(－2E－A)x﹦0的基础解系为α₃﹦[*] 因为α₁，α₂不正交，故需正交化，有 [*] 那么令Q﹦(γ₁，γ₂，γ₃)﹦[*]，则在正交变换x﹦Qy下，有 x^TAx﹦y^TAy﹦7y₁²﹢7y₂²－2y₃²。本题考查二次型的标准化及正定矩阵的判断。先根据－2是一个特征值求出口的值，然后代入求二次型矩阵，并求特征值和特征向量，利用施密特正交化方法得正交矩阵，求出标准形和所用的正交变换。

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)﹦xTAx﹦ax12﹢6x22﹢3x32－4x1x2－8x1x3－4x2x3，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值。 (I)求a的值； (Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换。

考研数学一

设非齐次方程组AX=β有解ξ1，ξ2，ξ3，其中ξ1=(1，2，3，4)T，ξ2+ξ3=(0，1，2，3)T，r(A)=3．求通解．

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T都是齐次线性方程组AX=0的解．(1)求A的特征值和特征向量．(2)求作正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．(3)

设f(x)在[0，1]连续，且对任意x，y∈[0，1]均有｜f(x)－f(y)｜≤M｜x－y｜，M为正的常数，求证：．

计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分I＝xyzdV其中Ω：x2＋y2＋z2≤1位于第一卦限的部分．

证明α1，α2，…αs(其中α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αi(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α1，α2，…，αi－1线性表出．

求下列平面上曲线积分其中L是椭圆周，取逆时针方向．

已知(x一1)y’’一xy’＋y＝0的一个解是y1＝x，又知y＝ex一(x2＋x＋1)，y*＝一x2—1均是(x一1)y’’一xy’＋y＝(x一1)2的解，则此方程的通解是y＝______·

设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a，b，c且不全为零，又B=且AB=O，求方程组AX=0的通解．

设f(x)为连续函数，计算，其中D是由y=x3，y=1，x=一1围成的区域．

类风湿关节炎晚期最为常见的关节畸形是

根据国标规定，建筑工程图纸尺寸标注，总图以米为单位，其余均以()为单位，为了图纸简明，按此规定画图，尺寸的数字后面可不写单位。

某纳税人由于资金紧张，在纳税期限到期后15天才将当期应纳税款550000元缴纳入库，根据《税收征管法》的规定，税务机关应加收其滞纳金()元。

《中共中央国务院关于加强青少年体育增强青少年体质的意见》要求确保学生每天锻炼()。

世界各国警察由于受英、法两国警察制度的影响，形成两种不同的警政管理体制——以英国为代表的地方自治制；以法国为代表的中央集权制。()

左边给定的是纸盒的外表面，下列哪一项能由它折叠而成?

The　Turing　machine　is　an　abstract(71)of　computer　execution　and　storage　introduced　in　1936　by　Alan　Turing　to　give　a　mathematicall

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设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T都是齐次线性方程组AX=0的解．(1)求A的特征值和特征向量．(2)求作正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．(3)

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计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分I＝xyzdV其中Ω：x2＋y2＋z2≤1位于第一卦限的部分．

证明α1，α2，…αs(其中α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αi(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α1，α2，…，αi－1线性表出．

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The Turing machine is an abstract(71)of computer execution and storage introduced in 1936 by Alan Turing to give a mathematicall

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