已知fn(x)满足微分方程f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)，且fn(1)=，则级数fn(x)的和为________．

admin2017-05-18 21

问题已知f_n(x)满足微分方程f’_n(x)=f_n(x)+x^n-1e^x(n为正整数)，且f_n(1)=

，则级数

f_n(x)的和为________．

选项

答案-e^xln(1-x)，x∈[-1，1)

解析本题主要考查一阶微分方程的解与幂级数的和函数．首先求一阶微分方程的解．
由已知条件知f_n(x)满足的微分方程可写成

这是一阶线性微分方程的初值问题，可以用一阶线性微分方程的通解公式求其通解，也可以用下面简便方法：
将方程两边乘以e^-x，得
f’_n(x)e^-x-e^-xf_n(x)=x^n-1，
于是 [f_n(x)e^-x]’=x^n-1，
等式两边积分，得 f_n(x)e^-x=∫x^n-1dx，
即 f_n(x)e^x=