设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，其反函数为g(x)，若∫xx+f(x)g(t一x)dt=x2ln(1+x)．求f(x)．

admin2023-01-06 28

问题设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，其反函数为g(x)，若∫_x^x+f(x)g(t一x)dt=x²ln(1+x)．求f(x)．

选项

答案令t—x=u，则dt=du，于是 ∫_x^x+f(x)g(t—x)dt=∫₀^x+f(x)g(u)du=x²ln(1+x)．将等式∫₀^x+f(x)g(u)du=x²ln(1+x)两边对x求导，同时注意到g[f(x)]=x，于是有 [*] =2[ln(1+x)+xln(1+x)一x]+x—ln(1+x)+C =ln(1+x)+2xln(1+x)一x+C．由于f(x)在x=0处连续，可知[*]=C；又f(0)=0，解得C=0，于是 f(x)=ln(1+x)+2xln(1+x)一x．

解析

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