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  3. 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数 (Ⅰ)求P{X+Y≤1)； (Ⅱ)判断X，Y的独立性； (Ⅲ)已知Z=X-Y，求fz(z)．

设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数 (Ⅰ)求P{X+Y≤1)； (Ⅱ)判断X，Y的独立性； (Ⅲ)已知Z=X-Y，求fz(z)．

admin2022-12-09  35
问题 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数
(Ⅰ)求P{X+Y≤1)；
(Ⅱ)判断X，Y的独立性；
(Ⅲ)已知Z=X-Y，求fz(z)．
选项
答案[*] (Ⅱ)fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy， 当x≤0时，fX(x)=0； 当＞x0时，fX(x)=∫0xe-xdy=xe-x，即fX(x)=[*] fY(y)=∫-∞+∞f(x，y)dx， 当y≤0时，fY(y)=0； 当y＞0时，fY(y)=∫y+∞e-ydx=e-y，即fY(y)=[*] 因为f(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X，Y不相互独立． (Ⅲ)FZ(z)=P(Z≤z)=P{X-Y≤z}=[*]f(x，y)dxdy， 当z＜0时，FZ(z)=0； 当z≥0时，FZ(z)=P{Z≤z}=1-∫z+∞dx∫0x-ze-xdy=1-∫x+∞(x-z)e-xdx =1-∫z+∞xe-xdx+z∫z+∞e-xdx=1+∫z+∞xd(e-x)+ze-x =1+xe-x|z+∞-∫z+∞e-xdx+ze-x=1-e-x， 即FZ(z)=[*]
解析
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考研数学三

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