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  3. 已知f(x)连续，且x∫02xf(t)dt+2∫x0tf(2t)dt=2x3(x－1)，求f(x)在[0，2]上的最大值和最小值．

已知f(x)连续，且x∫02xf(t)dt+2∫x0tf(2t)dt=2x3(x－1)，求f(x)在[0，2]上的最大值和最小值．

admin2017-05-31  43
问题 已知f(x)连续，且x∫02xf(t)dt+2∫x0tf(2t)dt=2x3(x－1)，求f(x)在[0，2]上的最大值和最小值．
选项
答案对已知等式两边求导： 左边=(x∫02xf(t)dt+2∫x0tf(2t)dt)’=∫02xf(t)dt+2xf(2x)一2xf(2x) =∫02xf(t)dt， 右边=[2x3(x一1)]’=8x3一6x2， 由题设有∫02xf(t)dt=8x3一6x2． 两边再对x求导2f(2x)=24x2一12x,即f(2x)=6x(2x一1)=3．2x(2x一1)．令u=2x，得f(u)=3u(u一1)，即f(x)=3x(x一1)． 再求f(x)在[0，2]上的最值． [*]最大值和最小值．
解析 对变限积分求导，可得f(x)的解析式，然后求最值．
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