设齐次方程组(I) 有一个基础解系β1=(b11,b12,…,b1×2n)T,β2=(b21,b22,…,b2×2n)T,…,βn=(bn1,bn2,…,bn×2n)T. 证明A的行向量组是齐次方程组(Ⅱ) 的通解.

admin2017-06-08  50

问题 设齐次方程组(I)

有一个基础解系β1=(b11,b12,…,b1×2n)T,β2=(b21,b22,…,b2×2n)T,…,βn=(bn1,bn2,…,bn×2n)T
证明A的行向量组是齐次方程组(Ⅱ)

的通解.

选项

答案分别记A和B为(Ⅰ)和(Ⅱ)的系数矩阵. (Ⅰ)的未知量有2n个,它的基础解系含有n个解,则r(A)=n,即A的行向量组α1,α2,…,αn线性无关. 由于β1,…,βn都是(I)的解,有ABT=(Aβ1,Aβ2,…,Aβn)=0,转置得BAT=0,即BαiT=0,i=1,…,n.于是,α1,α2,…,αn是(Ⅱ)的n个线性无关的解.又因为r(B)=n,(Ⅱ)也有2n个未知量,2n-r(B)=n.所以α1,α2,…,αn是(Ⅱ)的一个基础解系.从而(Ⅱ)的通解为 c1α1+c2α2+…+cnαn,c1,c2,…,cn可取任意数.

解析
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