2. 考研
  3. 设A是m×n矩阵，则下列4个命题 ①若r(A)=m，则非齐次线性方程组Ax=b必有解； ②若r(A)=m，则齐次方程组Ax=0只有零解； ③若r(A)=n，则非齐次线性方程组Ax=b有唯一解； ④若r(A)=n，则齐次方程组Ax=0只有零解 中正确的是

设A是m×n矩阵，则下列4个命题 ①若r(A)=m，则非齐次线性方程组Ax=b必有解； ②若r(A)=m，则齐次方程组Ax=0只有零解； ③若r(A)=n，则非齐次线性方程组Ax=b有唯一解； ④若r(A)=n，则齐次方程组Ax=0只有零解 中正确的是

admin2019-07-10  56
问题 设A是m×n矩阵，则下列4个命题
①若r(A)=m，则非齐次线性方程组Ax=b必有解；
②若r(A)=m，则齐次方程组Ax=0只有零解；
③若r(A)=n，则非齐次线性方程组Ax=b有唯一解；
④若r(A)=n，则齐次方程组Ax=0只有零解
中正确的是
选项 A、①③．
B、①④．
C、②③．
D、②④．
答案B
解析 因为A是m×n矩阵，若r(A)=m，说明A的行向量组线性无关，那么它的延伸组必线性无关．所以必有．从而，故线性方程组Ax=b必有解，①正确．下面只需判断③或④正确即可．
    若r(A)=n，说明A的列向量组线性无关，亦即Ax=0只有零解，所以④正确，故应选(B)．
    当r(A)=m时，必有n≥m．如果m=n，则Ax=0只有零解，而m＜n时，Ax=0必有非零解，所以②不正确．
    当r(A)=n时，r(A)有可能是n+1，方程组Ax=b可以无解．所以③不正确，你能举例说明吗?
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考研数学三

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