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证明:如果n阶矩阵满足(A—aE)(A一bE)=O(其中a≠b),那么A可对角化.
证明:如果n阶矩阵满足(A—aE)(A一bE)=O(其中a≠b),那么A可对角化.
admin
2020-09-25
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问题
证明:如果n阶矩阵满足(A—aE)(A一bE)=O(其中a≠b),那么A可对角化.
选项
答案
由(A—aE)(A一bE)=O,有|A—aE|=0或|A一bE|=0,故A的特征值为a或b. ①若a是A的特征值,b不是A的特征值,则|A一bE|≠0,即A一bE是可逆阵,于是A—aE=O,即A=aE,,所以A可对角化. ②若b是A的特征值,a不是A的特征值,同理知A可对角化. ③若a,b都是A的特征值,则由矩阵秩的不等式有:R(A—aE)+R(A一bE)≤n, R(A—aE)+R(A一bE)=R(A—aE)+R(bE一A) ≥R(A—aE+bE一A)=R[(b一a)E]=n(a≠b), 所以R(A—aE)+R(A一bE)=n,即[n一R(A—aE)]+[n一R(A一bE)]=n, 所以方程(A—aE)x=0与(A一bE)x=0的基础解系中向量个数之和为n,则A有n个线性无关的特征向量,故A可对角化. 综上可知A总可对角化.
解析
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考研数学三
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