2. 考研
  3. 如图13—2，设单位圆χ2＋y2＝1上点M(χ0，y0)处的切线L与抛物线y＝χ2－2围成的图形的面积S达到最小．求点M的坐标和切线L的方程．

如图13—2，设单位圆χ2＋y2＝1上点M(χ0，y0)处的切线L与抛物线y＝χ2－2围成的图形的面积S达到最小．求点M的坐标和切线L的方程．

admin2018-06-12  25
问题 如图13—2，设单位圆χ2＋y2＝1上点M(χ0，y0)处的切线L与抛物线y＝χ2－2围成的图形的面积S达到最小．求点M的坐标和切线L的方程．
选项
答案设切线L的方程为y＝kχ－b，其中b＞0(从图形知，当面积S最小时，点M应位于单位圆的下半圆上，故可作以上假设)，则L与抛物线交点A和B的横坐标χ1和χ2应满足方程组 [*] 于是，L与抛物线所围成图形的面积 [*] 因为[*] 于是χ12＋χ1χ2＋χ22＝[*]＝2－b＋k2． 代入，即得 [*] 从而，S与2－b＋[*]在同一点上取得最小值，现考虑函数f＝2－b＋[*]k2． 单位圆χ2＋y2＝1在点M(χ0，y0)处的切线L的方程是 χχ0＋yy0＝1[*] 即[*]， 代入f的表达式得 f＝2－b＋[*][(b－2)2＋3]． 于是minf＝f｜b＝2＝[*]． 对应的y0满足[*]， 与y0相应的y0±[*]． 即点M的坐标为[*]，过M的切线L的方程为 [*]＝1．
解析
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考研数学一

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