设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且在(a,b)内可微,又对于(a,b)内的x,有g’(x)≠0,则在(a,b)内存在一个ξ,使

admin2022-06-19  27

问题 设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且在(a,b)内可微,又对于(a,b)内的x,有g’(x)≠0,则在(a,b)内存在一个ξ,使

选项

答案先找出辅助函数F(x).下面用凑导数法求之.将待证等式中的ξ改为x,式①化为 f(x)[g(b)一g(x)]一g’(x)[f(x)一f(a)]=0,② 即 [f(x)一f(a)]’[g(b)一g(x)]+[f(x)一f(a)].[g(6)一g(x)]’=0, 亦即 {[f(x)一f(a)][g(b)一g(x)])’一0. 因而应作 F(x)=[f(x)一f(a)][g(b)一g(x)]. 令 F(x)=[f(x)一f(a)][g(b)一g(x)]. 下面对F(x)验证其满足罗尔定理的全部条件,显然有 F(a)=0,F(b)=0. 又F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,由罗尔定理知,存在ξ∈(a,b),使F’(ξ)=0, 即 f’(ξ)[g(b)一g(ξ)]一[f(ξ)一f(a)]g’(ξ)=0. 由g’<(ξ)≠0得到 [*]

解析
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