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已知二维随机变量(X,Y)的概率分布为 又P{X=1}=0.5,且X与Y不相关. (Ⅰ)求未知参数a,b,c; (Ⅱ)事件A={X=1}与B={max(X,Y)=1}是否独立,为什么? (Ⅲ)随机变量X+Y与X-Y是否相关,是否独立?
已知二维随机变量(X,Y)的概率分布为 又P{X=1}=0.5,且X与Y不相关. (Ⅰ)求未知参数a,b,c; (Ⅱ)事件A={X=1}与B={max(X,Y)=1}是否独立,为什么? (Ⅲ)随机变量X+Y与X-Y是否相关,是否独立?
admin
2019-08-06
45
问题
已知二维随机变量(X,Y)的概率分布为
又P{X=1}=0.5,且X与Y不相关.
(Ⅰ)求未知参数a,b,c;
(Ⅱ)事件A={X=1}与B={max(X,Y)=1}是否独立,为什么?
(Ⅲ)随机变量X+Y与X-Y是否相关,是否独立?
选项
答案
(Ⅰ)应用联合分布、边缘分布关系及X与Y不相关求参数a、b、c. 由于P{X=1}=0.5,故P{X=-1}=0.5,a=0.5-0.1-0.1=0.3. 又X与Y不相关[*] E(XY)=EX.EY,其中EX=(-1)×0.5+1×0.5=0. XY可能取值为-1,0,1,且 P{XY=-1}=P{X=-1,Y=1}+P{X=1,Y=-1}=0.1+b, P{XY=1}=P{X=1,Y=1}+P{X=-1,Y=-1}=0.1+c, P{XY=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=1,Y=0}=a+0.1, 所以E(XY)=-0.1-b+0.1+c=c-b,由E(XY)=EXEY=0 [*] c-b=0,b=c,又b+0.1+c=0.5,所以b=c=0.2. (Ⅱ)由于A={X=1}[*] B={max(X,Y)=1},P(AB)=P(A)=0.5,0<P(B)<1,又P(A)P(B)=0.5P(B)<0.5=P(AB),即P(AB)≠P(A)P(B),所以A与B不独立. (Ⅲ)因为Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)=DX-DY, DX=EX
2
-(EX)
2
=1,EY=0,DY=EY
2
-(EY)
2
=0.6, 所以Cov(X+Y,X-Y)=1-0.6=0.4≠0,X+Y与X-Y相关[*] X+Y与X-Y不独立.
解析
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考研数学三
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