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  3. 设A为3阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得QTAQ=，又已知A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ=1，相应的特征向量为α=(1，1，1)T． 求正交矩阵Q

设A为3阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得QTAQ=，又已知A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ=1，相应的特征向量为α=(1，1，1)T． 求正交矩阵Q

admin2016-01-23  37
问题 设A为3阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得QTAQ=，又已知A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ=1，相应的特征向量为α=(1，1，1)T．
求正交矩阵Q
选项
答案由题设条件可知，A～[*]，从而矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=-2，且｜A｜=λ1λ2λ3=-2． 又由A*α=α，知AA*α=Aα，即｜A｜α=-2α，可见α3=α=(1，1，1)T是A的属于特征值λ3=-2的一个特征向量． 设λ1
解析 本题考查求把实对称矩阵相似对角化的正交相似变换矩阵，这只要求得A的特征向量即可．注意，见到矩阵A与一对角矩阵相似，就可知A的特征值；见到伴随矩阵A*，就要想到用AA*=A*A=｜A｜E处理，这样由A*α=α可得A的一个特征向量，再由实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交可得其他特征值的特征向量，从而可求得正交矩阵Q第(Ⅱ)问由(A*)-1=可得．
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考研数学一

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