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设I为有限区间，证明：若f在I上一致连续，则f在I上有界，举例说明此结论当I为无限区间时不一定成立．
设I为有限区间，证明：若f在I上一致连续，则f在I上有界，举例说明此结论当I为无限区间时不一定成立．
admin
2022-11-23
9
问题
设I为有限区间，证明：若f在I上一致连续，则f在I上有界，举例说明此结论当I为无限区间时不一定成立．
选项
答案
设I为有限区间，其左、右端点分别为a，b．由于f在I上一致连续，故对ε=1．存存δ＞0[*]，当｜x’-x”｜＜δ且x’，x”∈I时，有｜f(x’)-f(x”)｜＜1．令[*]，则a＜a
1
＜b
1
＜b．由于f在[a
1
，b
1
]上连续，故f在[a
1
，b
1
]上有界．从而存在M
1
＞0，对[*]x∈[a
1
，b
1
]，有｜f(x)｜≤M
1
． 当x∈[a，a
1
)∩I时，因0＜a
1
-x＜[*]＜δ，故｜f(x)-f(a
1
)｜＜1，从而｜f(x)｜≤｜f(a
1
｜+1．同理当x∈[b
1
，b]∩I时，有｜f(x)｜≤｜f(b
1
)｜+1．令 M=max{M
1
，｜f(a
1
)｜+1，｜f(b
1
)｜+1}， 则对一切x∈I，必有｜f(x)｜≤M．故f在I上有界． 例：若令f(x)=[*]，x∈[0，+∞)，则易知f(x)在[0，+∞)上一致连续，但[*]可见f(x)在[0，+∞)上无界．
解析
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考研数学一
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