设f(x)在(a，b)内二阶可导，且0＜x1＜x2＜b． (I)若x∈(a，b)时f"(x)＞0，则对任何x∈(x1，x2)成立；

admin2019-02-20 23

问题设f(x)在(a，b)内二阶可导，且0＜x₁＜x₂＜b．
(I)若x∈(a，b)时f"(x)＞0，则

对任何x∈(x₁，x₂)成立；

选项

答案【证法一】有 (x₂－x)[f(x)－f(x₁)]＜(x－x₁)[f(x₂)－f(x)]，由拉格朗日中值定理知 (x₂－x)[f(x)－f(x₁)]=(x₂－x)(x－x₁)f’(ξ₁)，x₁＜ξ₁＜x， (x－x₁)[f(x₂)－f(x)]=(x－x₁)(x₂－x)f’(ξ₂)，x＜ξ₂＜x₂．由f"(x)＞0知f’(x)单调增加，故f’(ξ₁)＜f’(ξ₂)，由此即知等价不等式成立，从而(I)成立．【证法二】引进辅助函数 [*] 则 [*] 故F(x)的图形在[x₁，x₂][*](a，b)上为凹的．由F(x₁)=F(x₂)=0可知F(x)＜0，从而不等式成立．

解析

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考研数学三

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