设A为3阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量α满足Aα3=α2+α3,证明α1,α2,α3线性无关.

admin2016-10-20  32

问题 设A为3阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量α满足Aα323,证明α1,α2,α3线性无关.

选项

答案(1)(用定义) 据已知条件有Aα1=-α1,Aα22,Aα323.设 k1α1+k2α2+k3α3=0, ① 用A左乘①式的两端,并代人已知条件,有 -k1α1+k2α2+k323)=0. ② ①-②得 2k1α1-k2α2=0. 由于α1,α2是矩阵A不同特征值的特征向量,所以α1,α2线性无关,从而k1=0,k3=0. 将其代入①式得k2α2=0.因为α2是特征向量,必有α2≠0,从而k2=0. 因此,α1,α2,α3线性无关. (2)(用反证法) 设α1,α2,α3线性相关,由于α1,α2是矩阵A不同特征值的特征向量,所以 α1,α2必线性无关.从而α3可以由α1,α2线性表出.不妨设 α3=k1α1+k2α2, ① 用A左乘①式两端,并把Aα323,Aα1=-α1,Aα22代入,得 α223=-k1α1+k2α2. ② ①-②得 -α2=2k1α1. 由此得出α1,α2线性相关,与题设矛盾,故α1,α2,α3线性无关.

解析
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