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  3. 已知α1，α2，…，αt是齐次方程组Aχ＝0的基础解系，试判断α1＋α2，α2＋α3，…，αt-1＋αt，αt＋α1是否为Aχ＝0的基础解系，并说明理由．

已知α1，α2，…，αt是齐次方程组Aχ＝0的基础解系，试判断α1＋α2，α2＋α3，…，αt-1＋αt，αt＋α1是否为Aχ＝0的基础解系，并说明理由．

admin2018-06-12  31
问题 已知α1，α2，…，αt是齐次方程组Aχ＝0的基础解系，试判断α1＋α2，α2＋α3，…，αt-1＋αt，αt＋α1是否为Aχ＝0的基础解系，并说明理由．
选项
答案作为齐次方程组AX＝0的基础解系α1，α2，…，αt的线性组合，α1＋α2，α2＋α3，…，αt＋α1是AX＝0的一组解，个数＝t＝n－r(A)．α1＋α2，α2＋α3，…，αt＋α1是不是AX＝0的基础解系只要判断它们是否线性无关． 设A＝(α1，α2，…，αt)，B＝(α1＋α2，α2＋α3，…，αt＋α1)，则B＝AC，其中 [*] 因为α1，α2，…，αt线性无关，所以A列满秩，r(α1＋α2，α2＋α3，…，αt＋α1)＝r(B)＝r(C)． ｜C｜＝1＋(－1)t+1， 当t是奇数时，｜C｜＝2，C可逆，r(α1＋α2，α2＋α3，…，αt＋α1)＝t，α1＋α2，α2＋α3，…，αt＋α1线性无关，因此是AX＝0的基础解系． 当t是偶数时，｜C｜＝0，C不可逆，r(α1＋α2，α2＋α3，…，αt＋α1)＜t，α1＋α2，α2＋α3，…，αt＋α1线性相关，因此不是AX＝0的基础解系．
解析
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考研数学一

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