设有向量组(Ⅰ):α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,一1,a+2)T和向量组(Ⅱ):β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T.试问:当a为何值时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,向

admin2018-08-03  31

问题 设有向量组(Ⅰ):α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,一1,a+2)T和向量组(Ⅱ):β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T.试问:当a为何值时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价?

选项

答案因行列式|α1 α2 α3|=a+1≠0,故当a≠一1时方程组x1α1+x2α2+x3α3t(i=1,2,3)均有解(且有惟一解),所以向量组(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表示.又由行列式|β1 β2 β3|=6≠0,同理可知向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示.故当a≠一1时,(Ⅰ)与(Ⅱ)等价.当a=一1时,由于秩[α1 α2 α3]≠秩[α1 α2 α3┆iβ1],故方程组x1α1+x2α2+x3α31无解,即β1不能由(Ⅰ)线性表示,因此(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价.

解析
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