设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)＝n．

admin2017-06-26 39

问题设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)＝n．

选项

答案必要性：设B^TAB正定，则对任意n维非零列向量χ，有χ^t(B^TAB)χ＞0，即(Bχ)^TA(Bχ)＞0，于是Bχ≠0．因此，Bχ＝0只有零解，从而有r(B)＝n．充分性因(B^TAB)^T＝B^TA^TB＝B^TAB，故B^TAB为实对称矩阵，若r(B)＝n，则齐次线性方程组Bχ＝0只有零解，从而对任意n维非零列向量χ，有Bχ≠0，又A为正定矩阵，所以对于Bχ≠0，有(Bχ)^TA(Bχ)＞0，于是当χ≠0时，χ^T(B^TAB)χ＝(Bχ)^TA(Bχ)＞0，故B^TAB为正定矩阵．

解析

转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/YLSRFFFM

考研数学三

相关试题推荐

设周期函数f(x)在(-∞，+∞)内可导，周期为4．又，则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线的斜率为()．
设二阶常系数微分方程y’’+ay’+βy=ye2x有一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定a、β、γ和此方程的通解．
设曲线方程为y=e-x(x≥0)．(Ⅰ)把曲线y=e-x(x≥0)、x轴、y轴和直线x=ξ(ξ＞0)所围成平面图形绕x轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积V(ξ)，求满足(Ⅱ)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出
设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1，试证：(Ⅰ)存在η∈(1/2，1)，使f(η)=η；(Ⅱ)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1．
设4维向量组a1=(1+a，1，1，1)T，a2=(2，2+a，2，2)T，a3=(3，3，3+a，3)T，a4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，a1，a2，a3，a4线性相关?当a1，a2，a3，a4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其
设n阶方程A=(a1，a2，…，an)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，γn)，记向量组(Ⅰ)：a1，a2，…，an(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，如果向量组(Ⅲ)线性相关，则()．
设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=0，则()．
曲线r=1+cosθ的全长为_____.
已知实二次型f(x1，x2，x3)＝a(x11＋x22＋x32)＋4x1x2＋4x1x3＋4x2x3经正交变换x＝Py可化成标准形f＝6y12，则a＝_______．

随机试题

试述公共政策调整的作用。
用纯水把下列溶液稀释2倍时，其中pH变化最小的是
在我国，急性胰腺炎的病因主要是
腹股沟斜疝与直疝的最主要鉴别点是
通过抑制Th1细胞产生IFNγ、IL-2和TNF-β等下调细胞免疫功能的细胞因子是()。
对于交管局吊销林某出租车营运执照的行为，林某是否可以申请复议?若可以的话，申请期限是多长时间?若在诉讼中，林某认为交管部门的赵某只是一名在交管部门工作的勤杂人员，其不具备执法资格，是否可以请求法庭传唤赵某出庭作证?
读德国面积、人口、主要工业产品占世界总量的比重表，并根据德国的有关知识回答。德国85％的人口居住在城市，人口分布比较均匀，中小城市散布全国，人口超过百万的城市仅有三个，据此，可以看出德国是一个()。
长度是800m的队伍的行军速度为100m／min，在队尾的某人以3倍于行军的速度赶到排头，并立即返回队尾所用的时间是[]min．
在VisualFoxPro中，要使用数组，则______。
Woulditbepossibleformetohaveacloserlookatyoursamples?

最新回复(0)

设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)＝n．

考研数学三

设周期函数f(x)在(-∞，+∞)内可导，周期为4．又，则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线的斜率为()．

设二阶常系数微分方程y’’+ay’+βy=ye2x有一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定a、β、γ和此方程的通解．

设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1，试证：(Ⅰ)存在η∈(1/2，1)，使f(η)=η；(Ⅱ)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1．

设4维向量组a1=(1+a，1，1，1)T，a2=(2，2+a，2，2)T，a3=(3，3，3+a，3)T，a4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，a1，a2，a3，a4线性相关?当a1，a2，a3，a4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其

设n阶方程A=(a1，a2，…，an)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，γn)，记向量组(Ⅰ)：a1，a2，…，an(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，如果向量组(Ⅲ)线性相关，则()．

设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=0，则()．

曲线r=1+cosθ的全长为_____.

已知实二次型f(x1，x2，x3)＝a(x11＋x22＋x32)＋4x1x2＋4x1x3＋4x2x3经正交变换x＝Py可化成标准形f＝6y12，则a＝_______．

试述公共政策调整的作用。

用纯水把下列溶液稀释2倍时，其中pH变化最小的是

在我国，急性胰腺炎的病因主要是

腹股沟斜疝与直疝的最主要鉴别点是

通过抑制Th1细胞产生IFNγ、IL-2和TNF-β等下调细胞免疫功能的细胞因子是()。

读德国面积、人口、主要工业产品占世界总量的比重表，并根据德国的有关知识回答。德国85％的人口居住在城市，人口分布比较均匀，中小城市散布全国，人口超过百万的城市仅有三个，据此，可以看出德国是一个()。

长度是800m的队伍的行军速度为100m／min，在队尾的某人以3倍于行军的速度赶到排头，并立即返回队尾所用的时间是[]min．

在VisualFoxPro中，要使用数组，则______。

Woulditbepossibleformetohaveacloserlookatyoursamples?