设α是n维单位列向量，A＝E－ααT．证明：r(A)＜n．

admin2019-04-22 39

问题设α是n维单位列向量，A＝E－αα^T．证明：r(A)＜n．

选项

答案A²＝(E－αα^T)(E－αα^T)＝E－2αα^T＋αα^T.αα^T，因为α为单位列向量，所以α^Tα＝1，于是A²＝A．由A(E－A)＝O得r(A)＋r(E－A)≤n，又由r(A)＋r(E－A)≥r[A＋(E－A)]＝r(E)＝n，得r(A)＋r(E－A)＝n．因为E－A＝αα^T≠0，所以r(E－A)＝r(αα^T)＝r(α)＝1，故r(A)＝n－1＜n．

解析

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考研数学二

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