2. 考研
  3. 设f(x)连续，且∫0xtf(x＋t)dt＝lnx＋1，已知f(2)＝1/2，求积分12f(x)dx的值。

设f(x)连续，且∫0xtf(x＋t)dt＝lnx＋1，已知f(2)＝1/2，求积分12f(x)dx的值。

admin2019-12-06  42
问题 设f(x)连续，且∫0xtf(x＋t)dt＝lnx＋1，已知f(2)＝1/2，求积分12f(x)dx的值。
选项
答案令u＝x＋t，则t＝u－x，dt＝du，根据换元积分法， ∫0xf(x＋t)dz ＝∫x2x(u－x)f(u)du ＝∫x2xuf(u)－x∫x2xf(u)du＝lnx＋1， 在等式∫x2xuf(u)du－x∫x2xf(u)du＝lnx＋1两端同时对x求导可得 2xf(2x)×2－xf(x)－∫x2xf(u)du－x[2f(2x)－f(x)]＝1/x， 移项合并得 ∫x2xf(u)＝2xf(2x)－[*]。 在上式中，令x＝1，结合f(2)＝1/2，可得 ∫12f(u)du＝2×[*]－1＝0。
解析
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考研数学二

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