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设f(x)在[a,b]上连续且单调减少.证明:当0<k<1时,∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx.
设f(x)在[a,b]上连续且单调减少.证明:当0<k<1时,∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx.
admin
2016-10-13
22
问题
设f(x)在[a,b]上连续且单调减少.证明:当0<k<1时,∫
0
k
f(x)dx≥k∫
0
1
f(x)dx.
选项
答案
∫
0
k
f(x)dx一k∫
0
1
f(x)dx=∫
0
k
f(x)dx一k[∫
0
k
f(x)dx+∫
k
1
f(x)dx] =(1一k)∫
0
k
f(x)dx—k∫
k
1
f(x)dx=k(1一k)[f(ξ
1
)一f(ξ
2
)] 其中ξ
1
∈[0,k],ξ
2
∈[k,1].因为0<k<1且f(x)单调减少, 所以∫
0
k
f(x)dx—k∫
0
1
f(x)dx=k(1一k)[f(ξ
1
)一f(ξ
2
)]≥0,故∫
0
k
f(x)dx≥k∫
0
1
f(x)dx. 又固为f(x)单调减少,所以f(kx)≥f(x),两边积分得∫
0
1
f(kx)dx≥∫
0
1
f(x)dx, 故k∫
0
1
f(kx)dx≥k∫
0
1
f(x)dx,即∫
0
k
f(x)dx≥k∫
0
1
f(x)dx.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/XvwRFFFM
0
考研数学一
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