设有向曲面S:z=x2+y2,x≥0,y≥0,z≤1,法向量与z轴正向夹角为钝角.求第二型曲面积分I=(x+y)dydz+zdxdy.

admin2018-07-26  29

问题 设有向曲面S:z=x2+y2,x≥0,y≥0,z≤1,法向量与z轴正向夹角为钝角.求第二型曲面积分I=(x+y)dydz+zdxdy.

选项

答案 法一 投影法:S在yOz平面上的有向投影为D1={(y,z)|y2≤z≤1,y≥0},法向量向前; S在xOy平面上的有向投影为D2={(x,y)|0≤x2+y2≤1,x≥0,y≥O),法向量向下. [*] 所以I=[*] 法二 先化成第一型曲面积分再计算.有向曲面S:z=x2+y2,z≥0,y≥0,z≤1,它与z轴正向夹角为钝角的法向量n=(2x,2y,一1), n°=[*] 又因dS=[*],S在xOy平面上的投影区域D={(x,y)|0≤x2+y2≤1,x≥0,y≥0),于是 [*]

解析
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